㉕ 数学四方山話 1 算数～割り算

　ここから先はしばらく数学にまつわる、ちょっと見落としそうな話題をお話しします。まず算数の割り算です。小学生の方には割り算というのはどうも難しいようで、その原理を考えるというよりは、まず計算方法に習熟させるという方法をとっているようです。改めて割り算とは何ですかと聞かれると、ほとんどの方は。小学校以来慣れ親しんできた考え方になっていると思います。6÷ 3= 2ですがこれはどういう意味でしょう？いやどういうイメージを持っているかと言うことで結構です。ほとんどの方は6を3等分したら1つあたり2というイメージをお持ちでしょう。では5÷２＝？この考え方で行くと、答えは2. 5ということになります。全体を等分し、平均化して1つあたりいくらぐらいになるかというイメージです。

　割り算にはもう一つの考え方があります。日常的にはあまり一般的ではない考え方です。6÷ 3= 2ですが、こう考えます。6個の中から3個を取り出していくと、何回ぐらい取り出せるのか？2回ですね。つまり答えは2なのです.。これは5÷ 2を計算してみるとはっきりします。 5÷ 2= 2余り1。5からは2という塊は2回しか取り出せません.。1余ったものはもう取りだせませんので、余り1というわけです。当たり前のことを言っているようですが、この二つの考え方は発展させていくと大きな二つの流れになります。最初の平均という考え方は統計的な考え方です。ここから分散とか標準偏差と発展します。後の考え方は、実は商はあまり気にしないで、余りのみを考えの対象とします。例えば自然数全体を考えて、3で割った時余りは0か1か2かの3通りのいずれかになっています。余りだけで分類すると自然数は3n、 3n+ 1、3n+ 2の三通りに分類されると言えます。つまり、商を問題にしなければ、この3種類の各々を一つの塊として、統一的に議論ができるようになります。これは高等数学に発展します。

　次の記事でこの発展を少し述べたいと思いますが、まず問題を提示しましょう。

　「ある数があって、3で割ったら1余り、5で割ったら2余り、7で割ったら3余ります。その数は何でしょう？」易しそうに見えますが、結構難しい。もちろん3で割って1余る数をずらりと列挙し、それを5で割って2余る数を列挙し、7で割って3余る数を見つけるという方法でもよろしいのですが、それで全部かと言われるとちょっと自信がない。もっとたくさんありそうな気がする。また例えば123で割って 27余り、231では割ったら 14余り...という風になるともう手に負えなくなるでしょう。何とかこの式の計算を機械的にでも出来る方法は無いのだろうか？これが次の記事で述べる合同式です。こういう問題には絶大な威力を発揮します。