㉘ 数学四方山話 4 数学1～式の計算と因数分解

　算数から数学へと進んでくると、計算が嫌になる、もう辞めたと脱落する人たちがかなりいるのではないかと思います。その原因の一つに、複雑な式に何らかの操作を加えて答えを導き出すことについて、その原理を把握していないことがあると思います。特に高校の数学1というのは簡単そうに見えているけれど、式がごちゃごちゃしていて、何がなんだかわからなくなるというふうになります。面倒くさくなった。その上に微分だ積分だと畳みかけられると、全く手が出ないとなります。ここにつまづきの原因があります。確かに初めはかなりきついのですが、ある統一的なやり方を覚えると、かなり簡単になります。もう1度やってみようという方は、ぜひこれからお教えする方法を試してみてください。

　1) 式の計算計算

　式には＋、－、×、÷があります、展開の仕方、分配の法則については「常識」となるまで慣れるしかありません。まず文字式が出てきたら線を引いて上に掛け算をすべて書きます。割り算はすべて下に書きます。それで約分するのです。この約分のために次の因数分解があるのです。

　2) 因数分解

あらたまって因数分解ってなに？と聞かれると戸惑う方がいると思います。因数分解せよと言われたら計算はするけど、何のためにやっているのかわからないという人も多いと思います。13n- 78を因数分解してくださいと言われると、戸惑う方もいると思います。

　はっきり言いますと、因数分解とは足し算引き算で書かれている式を掛け算の式に書き換えることを言います。13n- 78＝ 13x( n- 6)ですね。13と n-6掛け算になっているでしょう。因数分解して何がありがたいありがたいかというと、上に出てきた文字式を、掛ける方と割る方に分けて上と下に書いたとき、掛け算ですから約分ができるようになるということです。

　x＝3のとき、（x の3乗+ 6xの2乗- x- 6) ÷(xの 2乗+ 5x- 6)を計算しなさい。いちいち代入するのは面倒くさい。

　答) (x の3乗+ 6xの2乗- x- 6 )/（xの2乗+5x-6)＝(x+ 6)(x- 1)(x+1)/(x-1)(x+6) ＝(約分して) x+ 1、x

＝3だから答えは4。簡単になったでしょう。因数分解の威力です。

　まず因数分解の手順として、因数定理を使います。例えばx 2乗+ 5x- 6を因数分解しようとした時ある数を、例えば1をx に1を代入するのです。そうすると0になりますね。ということは x 2乗+ 5x- 6は( x- 1)x()という形をしているはずです。x に1を入れたら 0になるのですから。

　「ある数aを式に代入して 0なるなら、式は x- aで割り切れる」

これを因数定理と言います。上のx 3乗+ 6x二乗- x- 6 に1、- 1を代入すると 0になりますね。つまり式は x- 1とx+ 1で割り切れるということです。(x 2乗-1)x()として係数に合うように()に式を入れていくと、x+6が出るのです。微分積分というのもこの数学1の式の計算ができなければ話になりません。微分積分というのは実は簡単なのです。すべて数学１の実力にかかっています。